Числовые и буквенные выражения

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 12,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 96,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 106,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 64,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 21. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 25. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 26. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 41. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 53. Урок 20,
Петерсон, Учебник, часть 2

3 класс

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 67,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 96,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 97,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 100,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 8,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 71,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 48. Вариант 1. Проверочная работа 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 33,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 107,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

4 класс

Страница 13,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 98,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 19,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 42. Вариант 1. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 43. Вариант 2. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 86. Вариант 1. Тест 4,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 55,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 67,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 22,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 180,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 481,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 237,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 259,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 262,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 517,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 18,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 85,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 92,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 378,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 413,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 417,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 422,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 425,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 445,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 454,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Счёт в уме

Как тренировать навыки устного счёта, применяя наши примеры?

Практического материала для тренировки счёта в уме в интернете предостаточно. Наши примеры многоразового использования. Каждый пример включает все арифметические действия. Поэтому они наиболее применимы начиная с четвёртого класса. Счёт в пределах сотни. В примерах не действуют математические правила, где первыми надо выполнить умножение и деление, а также действия в скобках.

В каждом примере пять действий, выполняющихся последовательно. Ещё раз – последовательно друг за другом. Например, в выражении 3х7+69-65:5 как идут действия друг за другом, так их и надо выполнять

Вашему ученику трудно выполнить все пять действий? Начинайте с одного. Решите в уме первое действие всех примеров. Потом первые два, три. По мере формирования навыка устного счёта добавляйте по одному действию, и так до пяти. К следующему этапу переходите после качественного освоения предыдущего.

Иногда задают вопрос: а не запомнит ребёнок результаты вычислений? В нашей практике такого не случалось, каждый решался как новый. Примеры разнообразны, действия тоже в разной последовательности.

Тренироваться надо ежедневно по 3-5 минут. Только в этом случае будет результат. Взрослый читает задание, ребёнок старается удержать в памяти на время счёта. Забыл, подскажите. Но не давайте список примеров в руки. Это уже не будет устный счёт.

Соблюдайте технику безопасности. Не заставляйте ребёнка перенапрягаться, работая больше 5 минут. Начало любой тренировки, особенно умственной, требует больших энергетических затрат.

Устойчивый навык устных вычислений у разных ребят требует разного времени для формирования. Следует это помнить.

Примеры для устного счёта 4 класс

53+47:2-41х3	56:8х10-16:6
74-66х4+48:8	89-68:7х9+78
94-87х3-15:6	4х7+28:8х9
9х5-39х4+36	72:8х6+27:9
40:5+79-69:3	63:9+25:8х20
85-37:4х5+58	8х9-16:7х6
6х5х3-72:2	100-46:9х7+39
100-73:3х5+47	7х9-39:8х30
93-58:5х3+79	4х9+18:6+87
40х2-56:4х3	6х8+33:9х8
17+15:4+67+25	80-35:9х7+65
7х1+86-79:7	63:7х8-36:9
4х8+17:7+83	100-51:7х9-63
36:6х8+24:9	56:8х6-35:7
2х7+86:20х9	8х7-29:9-3
17+46:7+40-37	72:9+72:80х8
7х8+25:9+91	17+64:9х6-29
6х4+48:8х9	32:8х6+48:9
9х7-27:6х8	6х9-26:7х9
3х9+45:8+71	93-58:7х9+55
100-37:9х7+25	27:3+89-69х2
43+29:9х6+46	36:4х5-28+14
21:3х2+67-39	9х2:3+89-14
7х5-19+74:9	9х3+56-37:2
25:5х20-33+9	24:3х5х2-47
45:5х4+59-17	40:8х4+76-25
8х1+75-26:3	18:3х4+76-66
6х4+49-35:19	6х3+47-29:9
20:4х8-23+41	14:2х5+58-61
9х4-19+46:21	7х3+69-73х2
28:4х5+39-55	7х4+72-56:11
8х3:4+75-24	32:4+67-49х3
35:5+65-58х4	6х3:2+46-37
3х7+69-65:5	56:7х9-43+17
9х6-19+49:4	54:9х6+57-19
20:5х6+56:20	15:5х3+21-17

Правило встречается в следующих упражнениях:

1 класс

Страница 18. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 10. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 51. Урок 26,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 9. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 19. Урок 10,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 22. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 35. Урок 18,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 88. Урок 35,
Петерсон, Учебник, часть 3

2 класс

Страница 47,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 24. Тест 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 52,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 105,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 12. Урок 4,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 24. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 2

3 класс

Страница 46,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 57,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 71,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 97,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 28,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 79,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 16,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 36,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 50,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 56,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 62,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 83,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 566,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 567,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1372,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1440,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 242,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 260,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 435,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 949,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 329,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1099,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1100,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1345,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 704,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 705,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1118,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1122,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1511,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах

Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+623−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+363−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

(3+1)·2+363−7=4·2+363−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+623−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Описание

Программа «Задание на неделю 4 класс» формирует задачи и примеры по математике, которые помогут закрепить ребенку все знания, полученные в четвертом классе в течение года, а также подготовится к проверочной и контрольной работе.

На листе формата А4 формируется 13 заданий по математике. При этом задания даются в небольшом объеме, но с максимальным охватом всех типов примеров. Это позволяет детям быстро вспомнить материал 4 класса.

В каждую карточку входят следующие виды заданий:

• чередующиеся задания, включающее:
  • • задание на повторение понятий «сумма», «разность», «произведение» и «частное» с вычислениями;
    • примеры на нахождение сторон, периметра и площади прямоугольника;
    • простые задачи на движение: нахождение скорости, времени или расстояния.
• примеры на сложение, вычитание, умножение и деление, в том числе: логические (вставить знаки для получения верного равенства),
• выражения на порядок действий (от пяти действий со скобками);
• примеры на умножение и деление разных типов: умножение и деление круглых чисел, внетабличное умножение и деление;
• примеры на деление с остатком с вычисление частного, уменьшаемого или вычитаемого;
• решение уравнений;
• задание на сравнение дробей (долей)
• задание на нахождение части от числа (от суммы, разности, произведения или частного);
• задания на повторение единиц измерения длины, массы и времени;
• задание на нахождение доли и процентов от единиц измерения: длины, площади, массы и времени;
• примеры в столбик: сложение трехзначных чисел, вычитание трехзначных чисел, умножение двухзначного числа на однозначное, умножение трехзначного числа на однозначное и двузначное, на однозначное число.

Программа «Задание на неделю 4 класс» написана в Excel с помощью макросов. Данные генерируются случайным образом, что позволяет получить более тысячи вариантов заданий для 4 класса, карточки заданий не повторяются.

Для ознакомления с программой можно скачать изображение карточки, которая получилась с помощью программы. Для получения новой карточки математического диктанта достаточно скачать, нажать на кнопку и распечатать.

Другие программы, которые помогут закрепить навыки счета:

• Цепочки примеров в пределах 1000 (все действия)
• Числовые пирамиды большие (в пределах 50,100 и больше)
• Умножение и деление по типам (табличное, внетабличное, круглых чисел)
• Сложение и вычитание в столбик
• Умножение и деление в столбик
• Деление с остатком на число (с выбором уровня сложности)
• Порядок действий в пределах 1000 (все действия)
• Сложные примеры на порядок действий
• Выражения с именованными числами

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 62·83?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·63−2+42.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·63−2+42=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·63−2+42=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4)2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4)2=5+1·22

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·22=5+22=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4)2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−62))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−62=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.